Công thức

Từ định nghĩa chúng ta có ϕ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \phi (1)=1} , và ϕ ( n ) = ( p − 1 ) p k − 1 {\displaystyle \phi (n)=(p-1)p^{k-1}} với n là lũy thừa bậc k của số nguyên tố p. Ngoài ra, ϕ {\displaystyle \phi } là một hàm nhân tính; nếu m và n là nguyên tố cùng nhau thì ϕ ( m n ) = ϕ ( m ) ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (mn)=\phi (m)\phi (n)} . (Tóm lược chứng minh: gọi A, B, C là các tập hợp các lớp đồng dư tương ứng theo các modulo m, n, mn; khi đó có một song ánh giữa A × B {\displaystyle A\times B} và C {\displaystyle C} , (theo [[định lý số dư Trung Quốc]]).) Giá trị của ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} có thể tính được khi sử dụng định lý cơ bản của số học:

Nếu n = p 1 k 1 ⋯ p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}

trong đó các p j {\displaystyle p_{j}} là các số nguyên tố phân biệt,thì

φ ( n ) = ( p 1 − 1 ) p 1 k 1 − 1 ⋯ ( p r − 1 ) p r k r − 1 {\displaystyle \varphi (n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1}\cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}}

Công thức này là một tích Euler và thường được viết là

φ ( n ) = n ∏ p | n ( 1 − 1 p ) {\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}

với tích chạy qua các số nguyên tố p {\displaystyle p} là ước của n {\displaystyle n} .

Ví dụ

φ ( 36 ) = φ ( 3 2 2 2 ) = 36 ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 2 ) = 36 ⋅ 2 3 ⋅ 1 2 = 12 {\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(3^{2}2^{2}\right)=36\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=36\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=12}

Một số giá trị

ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)}	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60